Spirales et Y'becca.

En mathématiques, une spirale est une courbe qui commence en un point central puis s'en éloigne de plus en plus, en même temps qu'elle tourne autour.
https://leclandesmouettes.1fr1.net/t144-bayang-bayang-penonbre-et-reflets-dans-y-becca#3185
https://leclandesmouettes.1fr1.net/t142-les-femmes-moulin-rouge-la-science-et-y-becca
https://leclandesmouettes.1fr1.net/t141-adoption
Une spirale a nécessairement une infinité de spires distinctes;

Sommaire

1 Spirales à deux dimensions
1.1 Par équation polaire
1.2 Par arcs de cercles
1.3 Autres classes de spirales
2 Construction
2.1 Approximations
3 Dans la nature
4 Aspects culturels
4.1 Vocabulaire
4.2 Technologie
4.3 En fiction
5 Notes et références
6 Voir aussi
6.1 Articles connexes
6.2 Liens externes

Spirales à deux dimensions
Par équation polaire

Une spirale à deux dimensions se décrit facilement à l'aide de coordonnées polaires : le rayon r est donné par une fonction continue et monotone de l'angle θ. Le rayon polaire peut croître indéfiniment avec l'angle :
Archimedean spiral.svg spirale d'Archimède : r = a + b ⋅ θ {\displaystyle r=a+b\cdot \theta ~} r=a+b\cdot \theta ~. Le rayon est proportionnel à l'angle. La distance entre les spires est constante. On utilise des cames en forme de branches de spirales d'Archimède pour convertir une rotation en mouvement de translation uniforme1.
Logarithmic Spiral Pylab.svg spirale logarithmique ou spirale de Bernoulli : r = a ⋅ b θ {\displaystyle r=a\cdot b^{\theta }~} r=a\cdot b^{\theta }~ . Le logarithme du rayon est proportionnel à l'angle . Elle est équiangle : en chaque point de la courbe l'angle entre la tangentes et le rayon est constant. La spirale d'or est un cas particulier de spirale logarithmique
Fermat's spiral.svg spirale de Fermat (en) : r = θ {\displaystyle r={\sqrt {\theta }}} r={\sqrt {\theta }}. C'est un cas particulier de spirale parabolique. Elle partage le plan en deux régions connexes2 et possède une symétrie centrale. Elle serait la courbe qui sépare le yin et yang dans le taijitu3 quoiqu'en pratique des arcs de cercles sont généralement utilisés.
Galileo spiral.svg spirale de Galilée : r = θ 2 {\displaystyle r=\theta ^{2}} r=\theta ^{2}. La trajectoire d'un corps en chute libre dans le plan de l'équateur rapporté à un référentiel terrestre est une portion de spirale de Galilée4.

Il peut aussi tendre vers une limite finie ; dans ce dernier cas, la spirale est asymptote à un cercle.
Asymptotic circle spiral.svg r = θ 1 + θ {\displaystyle r={\frac {\theta }{1+\theta }}~} {\displaystyle r={\frac {\theta }{1+\theta }}~}
Circle - black simple.svg Le cercle en est alors un cas dégénéré.

Le rayon peut aussi décroître avec l'angle.
Hyperspiral.svg spirale hyperbolique (en) : r = a θ {\displaystyle r={\frac {a}{\theta }}~} r={\frac {a}{\theta }}~. La spirale est asymptote à une droite
Lituus.svg spirale de Cotes (en) ou lituus : r = a θ {\displaystyle r={\frac {a}{\sqrt {\theta }}}~} {\displaystyle r={\frac {a}{\sqrt {\theta }}}~}. Elle a été étudiée par Roger Cotes. Cette courbe admet l'axe (Ox) comme asymptote.
Cornu Spiral.svg clothoïde ou spirale d'Euler
Par arcs de cercles
Fibonacci spiral.svg spirale de Fibonacci approximation de la spirale d'or construite avec une suite de Fibonacci
2centersspiral.svg spirales à centre multiples composée de groupes d'arcs de cercle concentriques qui se connectent tangentiellement
Autres classes de spirales
Involute of circle.png développante du cercle

Construction

Un procédé simple permet de tracer d'un mouvement continu une spirale relativement régulière, par exemple pour la décoration de jardins : il suffit d'enrouler un cordeau attaché à un piquet planté au centre désigné de la spirale. En déroulant ensuite le cordeau autour du piquet en le gardant tendu, une pointe maintenue verticale et attachée au bout de ce cordeau permet de tracer au sol une spirale au fur à mesure que le cordeau se déroule. Dans ce procédé, les spires de la ligne tracée sont évidemment d'autant plus écartées, que le piquet central est plus gros. On obtient une (approximation de) développante du cercle
Approximations
Spirangle 7angle 8turn.jpg
Spiral of Theodorus.svg

La spirale de Théodore de Cyrène permet de construire géométriquement les racines carrées des entiers consécutifs.

Un spirangle (en) est une figure similaire à une spirale mais basée sur des segments.
Dans la nature
La spirale est une forme fréquente dans le monde animal et végétal, chez les gastéropodes par exemple
Structure 3D, de la macromolécule hélicoïdale de l'ADN, support de l'hérédité

La spirale hélicoïdale (ou une structure moins visible mais spiralée), généralement construite selon la suite de Fibonacci, est fréquente dans le monde vivant.

Elle est bien connue et bien visible dans les formes de coquilles d'escargots, un peu moins voyante mais fréquente chez les végétaux, avec par exemple la disposition spiralée des graines du tournesol ou la structure du chou brocoli, ou encore de la pomme de pin ou encore dans la forme prise par les tiges en croissance de certaines plantes grimpantes. En botanique, la spirale est présente dans la disposition des graines du tournesol, ou dans le point d'insertion des feuilles sur la tige (l'angle dièdre passant par l'axe de la tige et deux points qui se succèdent est la divergence, valeur caractéristiques de l'espèce).

La spirale est également présente dans le monde animal (certains tissus musculaires) et dans le monde microscopique chez certaines bactéries. Les bactéries spiralées sont souvent pathogènes pour divers animaux et certaines le sont pour l'homme (ex spirochètes responsables de la syphilis, ou bactéries du genre Borrelia responsables de la maladie de Lyme, ou chez les Campylobacter 5, Campylobacter pyloridis responsables d'ulcères de l'estomac. Chez ces bactéries, la morphologie spiralée est souvent associée à une motilité particulière, adaptées au mucus5 ou à d'autres environnements mucilo-gélatineux (ex : intérieur de l'œil pour certaines borrélies). La forme spiralée (en tire-bouchon) et une motilité particulière de ces organismes semblent leur donner un avantage sélectif dans les environnements visqueux et mucilagineux 5.

Dans des dimensions encore plus petites, l'ADN est lui-même spiralé (quand il n'est pas déroulé), mais il existe aussi chez les bactéries des ADN circulaires (en anneau).

Une galaxie spirale tire son nom de la forme selon laquelle leurs bras s'enroulent autour du centre
Aspects culturels
Vocabulaire
La spirale est un des motifs qui semblent avoir fasciné l'homme depuis la préhistoire, des gravures celtes aux tatouages polynésiens
Escaliers hélicoïdaux formant une spirale vue de dessus ou d'en bas

En latin spira ou en grec ancien σπείρα / speira, ce mot désigne un enroulement.

Dans le langage courant, et notamment en dessin et en architecture les adjectifs spiral et spiralé désignent toutes les formes évoquant la spirale mathématique (escalier en spirale...) ou comprenant une suite de circonvolutions.

Le terme spirale se réfère en général à une courbe plane. Lorsqu'une spirale se développe en trois dimensions, on parle plutôt d'hélice.
Technologie
Mouvement contraint de deux spirales d'Archimède l'une dans l'autre, qui évoque schématiquement le principe de certains compresseurs. Les points de contact entre les deux spirales se déplacent eux-même en suivant le tracé de la spirale rouge.

La spirale possède des propriétés géométriques exploitées par plusieurs mécanismes créés par l'homme, par exemple le ressort spiral ou le disque microsillon.
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En fiction

La spirale est un motif fréquent dans la décoration (frises, bijoux, tissus, dessins, tatouages, carrelages, etc.).
Le Père Ubu d'Alfred Jarry porte sur le ventre une spirale appelée «gidouille».
Regarder une spirale qui tourne provoque un effet d'optique, qui fascine et est réputé faciliter l'hypnose. C'est un thème souvent exploité dans les dessins animés.
En bande dessinée, les yeux d'un personnage dessinés en spirale évoquent — selon le contexte — la confusion du personnage, le fait qu'il soit sonné, fou, etc.
Un manga d'horreur One-shot de Junji Ito appelé Uzumaki (spirale en japonais) a pour thématique l'obsession des spirales.
La spirale est utilisée dans la série américaine Teen Wolf pour désigner la vengeance d'un loup-garou. Peter Hale l'utilise dans la saison 1 pour se venger de Kate Argent. Elle est également utilisée dans la saison 3A.
Le sound system britannique Spiral Tribe doit son nom à l'un de ses fondateurs, Mark Harrison, fasciné par la symbolique de la spirale.

Notes et références

↑ http://mathworld.wolfram.com/ArchimedesSpiral.html
↑ http://www.mathcurve.com/courbes2d/fermat/fermatspirale.shtml
↑ http://images.math.cnrs.fr/Le-Yin-et-le-Yang.html
↑ http://www.mathcurve.com/courbes2d/galilee/galilee.shtml
↑ a, b et c Stuart L. Hazell, drian Lee, Lynette Brady et William Hennessy (1986), Campylobacter pyloridis and gastritis: association with intercellular spaces and adaptation to an Environment of Mucus as Important Factors in Colonization of the Gastric Epithelium ; Journal of Infectious disease (J Infect Dis), 153 (4): 658-663. doi: 10.1093/infdis/153.4.658 (résumé)

Voir aussi

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Spirale, sur Wikimedia Commons

Articles connexes

Développante du cercle
Enseigne de barbier
Tourbillon (physique)

Liens externes

Spirale (page du site Mathcurve.com)

v · m
Exemples de courbes

Coniques
Cercle Ellipse Parabole Hyperbole Cardioïde Cissoïde Clothoïde Conchoïde Cycloïde Épicycloïde Folium de Descartes Hélice Hypocycloïde
Astroïde Deltoïde Hypotrochoïde Néphroïde Quadratrice d'Hippias Spirale
Archimède Logarithmique Sinusoïdale Strophoïde Lemniscates
Gerono Booth Bernoulli Courbe du diable Spirique de Persée Trajectoire Ovale de Cassini Chaînette Courbe brachistochrone Isochrone de Leibniz

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Courbe du diable

La courbe du diable a été étudiée en 1750 par Cramer et en 1810 par Lacroix.

Sommaire

1 Étymologie
2 Équations
3 Notes et références
4 Voir aussi
4.1 Articles connexes
4.2 Lien externe

Étymologie

Cette courbe doit son nom à l'arc fermé qui la compose en partie, et qui rappelle la forme d'un jouet populaire à la fin du XVIIIe siècle, le diabolo.
Équations

Équation polaire : r 2 = b 2 + a 2 cos ⁡ 2 θ {\displaystyle r^{2}=b^{2}+{\frac {a^{2}}{\cos 2\theta }}\,} {\displaystyle r^{2}=b^{2}+{\frac {a^{2}}{\cos 2\theta }}\,}.

Équation cartésienne : x 4 − y 4 − ( a 2 + b 2 ) ⋅ x 2 − ( a 2 − b 2 ) ⋅ y 2 = 0 {\displaystyle x^{4}-y^{4}-(a^{2}+b^{2})\cdot x^{2}-(a^{2}-b^{2})\cdot y^{2}=0\,} {\displaystyle x^{4}-y^{4}-(a^{2}+b^{2})\cdot x^{2}-(a^{2}-b^{2})\cdot y^{2}=0\,}

Autre forme cartésienne : y 2 ( y 2 − a 2 ) = x 2 ( x 2 − b 2 ) {\displaystyle y^{2}(y^{2}-a^{2})=x^{2}(x^{2}-b^{2})\,} {\displaystyle y^{2}(y^{2}-a^{2})=x^{2}(x^{2}-b^{2})\,}

Notes et références
Voir aussi
Articles connexes

Lemniscate

Lien externe

Une présentation de la courbe

[masquer]
v · m
Exemples de courbes

Coniques
Cercle Ellipse Parabole Hyperbole Cardioïde Cissoïde Clothoïde Conchoïde Cycloïde Épicycloïde Folium de Descartes Hélice Hypocycloïde
Astroïde Deltoïde Hypotrochoïde Néphroïde Quadratrice d'Hippias Spirale
Archimède Logarithmique Sinusoïdale Strophoïde Lemniscates
Gerono Booth Bernoulli Courbe du diable Spirique de Persée Trajectoire Ovale de Cassini Chaînette Courbe brachistochrone Isochrone de Leibniz

Gabriel Cramer, né le 31 juillet 1704 à Genève et mort le 4 janvier 1752 à Bagnols-sur-Cèze, est un mathématicien suisse1, professeur de mathématiques et de philosophie à l'académie de Genève. Lui et son collègue Jean-Louis Calandrini sont souvent considérés comme les artisans du renouveau scientifique à Genève au début du XVIIIe siècle, par l'introduction de la philosophie naturelle newtonienne.

Les contributions de Cramer aux mathématiques portent essentiellement sur l'algèbre et la géométrie, au travers de son unique ouvrage publié, un traité sur les courbes intitulé Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques, paru à Genève en 1750. Dans ce traité on trouve notamment la méthode connue aujourd'hui sous le nom de règle de Cramer pour la résolution des systèmes linéaires d'équations, utilisant ce qui sera ultérieurement appelé déterminants.

et

Sylvestre-François Lacroix ou De la Croix1, né le 28 avril 1765 à Paris et mort le 24 mai 1843 à Paris, est un mathématicien français dont le Traité du calcul différentiel et du calcul intégral eut une très grande influence au XIXe siècle. Issu d'une modeste famille parisienne, Lacroix fut initié aux mathématiques par l'abbé Joseph-François Marie, professeur au collège des Quatre-Nations, et suivit durant les hivers 1780-1781 et 1781-1782 les cours d'« analyse appliqué à la géométrie » (géométrie analytique), que Gaspard Monge dispensait à la chaire d'hydrodynamique du Louvre comme assistant de Charles Bossut. Monge, qui était alors professeur à l’École royale du génie de Mézières, venait de rejoindre la capitale à la faveur de sa nomination comme adjoint à l'Académie royale des sciences. Il n'enseignait toutefois pas la géométrie descriptive, car les méthodes de cette discipline (double projection, relèvement, rabattement, plans tangents) étaient tenues comme un secret militaire. Lacroix soupçonna toutefois l'existence d'une discipline permettant la solution géométrique de problèmes de géométrie dans l'espace. Fin 1779 Pierre Charles Le Monnier, professeur de physique au Collège royal de France, propose à Lacroix, alors âgé de 14 ans, de travailler sur des observations lunaires, travaux de calcul difficiles qu'il mène durant deux ans.

Étymologie

Le mot brachistochrone vient du grec brakhistos (« le plus court ») et s'écrit donc avec un i et non un y, et de chronos (« temps »). Elle fut étudiée et nommée ainsi par Jean Bernoulli.
Histoire
Maquette montrant la faculté brachistochrone de la cycloïde (Musée d'histoire des sciences de Florence).

La résolution du problème de la courbe brachistochrone passionna les mathématiciens de la fin du XVIIe siècle1. Il prend sa source dans une affirmation de Galilée en 1633, qui crut que la solution consistait en un arc de cercle2. Cependant, Galilée ne disposait pas des méthodes du calcul différentiel qui permettaient d'apporter une solution. Jean Bernoulli pose clairement le problème en juin 1696 dans les Acta Eruditorum3. Très rapidement, Leibniz propose une solution à Jean Bernoulli4, mais sans qu'il reconnaisse la courbe en question. C'est Jean Bernoulli, qui dispose de deux solutions, qui reconnaît un arc de cycloïde commençant avec une tangente verticale5. Tous deux décident de différer la publication de leurs solutions pour laisser à d'autres la possibilité d'aborder le problème6. Celui-ci fut également résolu par Jacques Bernoulli7, frère de Jean, et par Newton, L'Hôpital et Tschirnhaus.

Les méthodes imaginées pour sa résolution amenèrent à développer la branche des mathématiques qu'on appelle le calcul des variations.
Démonstration de la solution
Démonstration historique (par Jean Bernoulli)

Le chemin le plus court entre deux points est celui que suivrait un rayon de lumière. La courbe brachistochrone est donc simplement le trajet suivi par la lumière dans un milieu où la vitesse augmente selon une accélération constante (l’attraction terrestre g). La loi de la conservation de l’énergie permet d’exprimer la vitesse d’un corps soumis à l’attraction terrestre par :

v = 2 g h {\displaystyle v={\sqrt {2gh}}} {\displaystyle v={\sqrt {2gh}}},

où h représente la perte d’altitude par rapport au point de départ.

La loi de la réfraction, selon le principe de Fermat, indique que tout au long de sa trajectoire un rayon lumineux obéit à la règle

sin ⁡ θ v = C s t e {\displaystyle {\frac {\sin {\theta }}{v}}=\mathrm {Cste} } {\displaystyle {\frac {\sin {\theta }}{v}}=\mathrm {Cste} },

où θ {\displaystyle \theta } \theta représente l’angle par rapport à la verticale. En insérant dans cette formule l’expression de la vitesse trouvée plus haut, on constate immédiatement deux choses :

– Au point de départ, lorsque la vitesse est nulle, l’angle doit nécessairement être nul. Donc la courbe brachistochrone est tangente à la verticale à l’origine.

– La vitesse est bornée car le sinus ne peut être supérieur à 1. Cette vitesse maximum est atteinte quand la particule (ou le rayon) passe par l’horizontale.

Sans restreindre la généralité du problème, on va supposer que la particule part du point de coordonnées (0,0) et que la vitesse maximum est atteinte à l’altitude –D. La loi de la réfraction s’exprime alors par :

sin ⁡ θ − 2 g y = 1 2 g D {\displaystyle {\frac {\sin {\theta }}{\sqrt {-2gy}}}={\frac {1}{\sqrt {2gD}}}} {\displaystyle {\frac {\sin {\theta }}{\sqrt {-2gy}}}={\frac {1}{\sqrt {2gD}}}}.

Sachant que la particule se déplace sur une courbe, on a la relation :

sin ⁡ θ = d x d x 2 + d y 2 {\displaystyle \sin {\theta }={\frac {dx}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}}} {\displaystyle \sin {\theta }={\frac {dx}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}}}.

En insérant cette expression dans la formule précédente et en réarrangeant les termes on trouve :

( 1 + y ′ 2 ) y = − D {\displaystyle (1+{y'}^{2})y=-D} {\displaystyle (1+{y'}^{2})y=-D}.

Ce qui est l’équation différentielle de l’opposée d’une cycloïde, engendrée par un cercle de diamètre D.
Démonstration avec le calcul des variations
Brachi.PNG

Soit y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} y=f(x) l'équation cartésienne de la courbe (on exclut les courbes ayant des parties verticales), y étant dirigé vers le bas, et la courbe commençant à l'origine. On exprime un déplacement infinitésimal sur la courbe :

d s = ( d x ) 2 + ( d y ) 2 = 1 + y ′ 2 d x {\displaystyle ds={\sqrt {(dx)^{2}+(dy)^{2}}}={\sqrt {1+{y'}^{2}}}dx} {\displaystyle ds={\sqrt {(dx)^{2}+(dy)^{2}}}={\sqrt {1+{y'}^{2}}}dx}.

Mais, d'autre part, on a toujours, en vertu du théorème de l'énergie cinétique, la relation suivante :

v = d s d t = 2 g y {\displaystyle v={\frac {ds}{dt}}={\sqrt {2gy}}} {\displaystyle v={\frac {ds}{dt}}={\sqrt {2gy}}}.

On peut alors exprimer le temps de parcours infinitésimal d t {\displaystyle dt} dt :

d t = 1 + y ′ 2 2 g y d x {\displaystyle dt={\sqrt {\frac {1+{y'}^{2}}{2gy}}}dx} {\displaystyle dt={\sqrt {\frac {1+{y'}^{2}}{2gy}}}dx}.

Donc T = ∫ x a x b 1 + y ′ 2 2 g y d x {\displaystyle T=\int _{x_{a}}^{x_{b}}{\sqrt {\frac {1+{y'}^{2}}{2gy}}}dx} {\displaystyle T=\int _{x_{a}}^{x_{b}}{\sqrt {\frac {1+{y'}^{2}}{2gy}}}dx}, avec T le temps de parcours (à minimiser), x a {\displaystyle x_{a}} x_{a} et x b {\displaystyle x_{b}} x_{b} les abscisses de départ et d'arrivée.

Il s'agit donc de trouver le minimum de la fonctionnelle F : y ↦ ∫ x a x b 1 + y ′ 2 2 g y d x {\displaystyle F:y\mapsto \int _{x_{a}}^{x_{b}}{\sqrt {\frac {1+{y'}^{2}}{2gy}}}dx} {\displaystyle F:y\mapsto \int _{x_{a}}^{x_{b}}{\sqrt {\frac {1+{y'}^{2}}{2gy}}}dx}. Les extrema d'une telle fonctionnelle F : y ↦ ∫ x a x b L ( x , y , y ′ ) d x {\displaystyle F:y\mapsto \int _{x_{a}}^{x_{b}}L(x,y,y')dx} {\displaystyle F:y\mapsto \int _{x_{a}}^{x_{b}}L(x,y,y')dx} vérifient l'équation d'Euler-Lagrange, qui est une condition nécessaire (mais non suffisante) pour que y {\displaystyle y} y minimise la fonctionnelle.

La fonctionnelle ne dépendant pas explicitement de x {\displaystyle x} x, la formule de Beltrami est ici directement applicable, à savoir L − y ′ ∂ L ∂ y ′ = k {\displaystyle L-y'{\partial L \over \partial y'}=k} {\displaystyle L-y'{\partial L \over \partial y'}=k} avec k une constante arbitraire, ce qui donne ici :

1 + y ′ 2 2 g y − y ′ 2 2 g y ( 1 + y ′ 2 ) = k {\displaystyle {\sqrt {\frac {1+{y'}^{2}}{2gy}}}-{\frac {{y'}^{2}}{\sqrt {2gy(1+{y'}^{2})}}}=k} {\displaystyle {\sqrt {\frac {1+{y'}^{2}}{2gy}}}-{\frac {{y'}^{2}}{\sqrt {2gy(1+{y'}^{2})}}}=k}

Après multiplication des deux membres par 2 g y ( 1 + y ′ 2 ) {\displaystyle {\sqrt {2gy(1+{y'}^{2})}}} {\displaystyle {\sqrt {2gy(1+{y'}^{2})}}} et simplification, on obtient que si y {\displaystyle y} y est un extremum de F {\displaystyle F} F alors :

1 2 g y ( 1 + y ′ 2 ) = k {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2gy(1+{y'}^{2})}}}=k} {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2gy(1+{y'}^{2})}}}=k}.

On obtient donc l'équation différentielle ( 1 + y ′ 2 ) y = C s t e {\displaystyle (1+{y'}^{2})y=\mathrm {Cste} } {\displaystyle (1+{y'}^{2})y=\mathrm {Cste} }, où la constante s'obtient en constatant que y {\displaystyle y} y est égal au diamètre D {\displaystyle D} D du cercle générant la cycloïde lorsque y ′ = 0 {\displaystyle y'=0} y'=0. Ce n'est autre que l'altitude minimale atteinte par le point mobile.
Résolution de l'équation différentielle et solution

Pour résoudre ( 1 + y ′ 2 ) y = D {\displaystyle (1+{y'}^{2})y=D} {\displaystyle (1+{y'}^{2})y=D}, on procède au changement de variable suivant :

y ′ = cotan ⁡ ( θ 2 ) {\displaystyle y'=\operatorname {cotan} \left({\frac {\theta }{2}}\right)} {\displaystyle y'=\operatorname {cotan} \left({\frac {\theta }{2}}\right)}.

On trouve y ( θ ) {\displaystyle y(\theta )} {\displaystyle y(\theta )} en remplaçant y ′ {\displaystyle y'} y' directement dans l'équation différentielle, puis x ( θ ) {\displaystyle x(\theta )} {\displaystyle x(\theta )} en remarquant que d y / d x = cotan ⁡ ( θ / 2 ) {\displaystyle dy/dx=\operatorname {cotan} (\theta /2)} {\displaystyle dy/dx=\operatorname {cotan} (\theta /2)} donne d x = tan ⁡ ( θ / 2 ) d y {\displaystyle dx=\tan(\theta /2)dy} {\displaystyle dx=\tan(\theta /2)dy}. On a d y = D 2 sin ⁡ ( θ ) d θ {\displaystyle dy={\frac {D}{2}}\sin(\theta )d\theta } {\displaystyle dy={\frac {D}{2}}\sin(\theta )d\theta } d'après l'expression trouvée pour y ( θ ) {\displaystyle y(\theta )} {\displaystyle y(\theta )}. Une intégration de d x {\displaystyle dx} {\displaystyle dx} en θ {\displaystyle \theta } \theta donne x ( θ ) {\displaystyle x(\theta )} {\displaystyle x(\theta )} :

∫ d x = ∫ D 2 tan ⁡ ( θ / 2 ) sin ⁡ ( θ ) d θ = D 2 ∫ ( 1 − cos ⁡ ( θ ) ) d θ {\displaystyle \int {dx}=\int {\frac {D}{2}}\tan(\theta /2)\sin(\theta )d\theta ={\frac {D}{2}}\int (1-\cos(\theta ))d\theta } {\displaystyle \int {dx}=\int {\frac {D}{2}}\tan(\theta /2)\sin(\theta )d\theta ={\frac {D}{2}}\int (1-\cos(\theta ))d\theta }

On obtient finalement l'équation paramétrique de la courbe solution avec les conditions aux limites adéquates :

x ( θ ) = D 2 ( θ − sin ⁡ ( θ ) ) {\displaystyle x(\theta )={\frac {D}{2}}\left(\theta -\sin(\theta )\right)} {\displaystyle x(\theta )={\frac {D}{2}}\left(\theta -\sin(\theta )\right)},

y ( θ ) = D 2 ( 1 − cos ⁡ ( θ ) ) {\displaystyle y(\theta )={\frac {D}{2}}\left(1-\cos(\theta )\right)} {\displaystyle y(\theta )={\frac {D}{2}}\left(1-\cos(\theta )\right)}

Il s'agit d'une cycloïde, sous sa forme paramétrée (l'orientation du graphique est la même qu'au début, les coordonnées x et y de la courbe sont toujours positives, l'axe des y ayant simplement été dessiné vers le haut) :
Cycloid animated.gif
Voir aussi

Isochrone de Leibniz
Courbe tautochrone

Liens externes

Sur le site MathCurve.com
Article historique en anglais
Résolution complète et détaillée du problème en anglais

Notes et références

↑ Émilie du Châtelet écrivit à ce sujet, dans Les institutions de physique (1740) : « §468. Le problème de la ligne de la plus vite descente d'un corps tombant obliquement à l'horizon par l'action de la pesanteur d'un point donné à un autre point donné, est fameux par l'erreur du grand Galilée, qui a cru que cette ligne était un arc de cercle, et par les différentes solutions que les plus grands géomètres de l'Europe en ont donné »
↑ Galilée, Discours concernant deux sciences nouvelles, (th. XXII, prop. XXXVI), (1633), rééd. PUF, 1995, p.199 : « Il semble possible de conclure que le mouvement le plus rapide entre deux points n'a pas lieu le long de la ligne la plus courte, c'est-à-dire le long d'une droite, mais le long d'un arc de cercle ».
↑ Le problème est posé à la fin de l'article Supplementum defectus Geometriae Cartesianae circa Inventionem Locorum, Opera Johannis Bernoulli [archive], t.I, p.161.
↑ Leibnizens matematische Schriften [archive], t.III, p.290-295
↑ Opera Johannis Bernoulli [archive], t.I, p.187.
↑ Marc Parmentier, Leibniz, naissance du calcul différentiel, Vrin (1989), p.345-358
↑ Le problème de la brachistochrone est à l'origine d'une brouille entre les deux frères Bernoulli, Jacques estimant sa propre solution meilleure que celle de Jean et ayant lancé à son frère le défi de résoudre le problème dans un cadre plus général.

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Jacques ou Jakob Bernoulli (1654-1705) est un mathématicien et physicien suisse (né et mort à Bâle), frère de Jean Bernoulli et oncle de Daniel Bernoulli et Nicolas Bernoulli.

Sommaire

1 Biographie
2 Contributions importantes
2.1 Découverte de la constante mathématique e
3 Œuvre
4 Source partielle
5 Voir aussi
5.1 Articles connexes
5.2 Bibliographie
5.3 Liens externes

Biographie

Il rencontre Robert Boyle et Robert Hooke lors d'un voyage en Angleterre en 1676. Après cela, il se consacre à la physique et aux mathématiques. Il enseigne à l'université de Bâle à partir de 1682, devenant professeur de mathématiques en 1687. Il mérita par ses travaux et ses découvertes d'être nommé associé de l'Académie des sciences de Paris (1699) et de celle de Berlin (1702).

Sa correspondance avec Gottfried Wilhelm Leibniz le conduit à étudier le calcul infinitésimal en collaboration avec son frère Jean. Il fut un des premiers à comprendre et à appliquer le calcul différentiel et intégral, proposé par Leibniz, découvrit les propriétés des nombres dits depuis nombres de Bernoulli et donna la solution de problèmes regardés jusque-là comme insolubles.
Contributions importantes

Les premières contributions importantes de Jacques Bernoulli sont une étude publiée en 1685 dans laquelle il établit des parallèles entre la logique et l'algèbre, un travail sur les probabilités en 1685 et un sur la géométrie en 1687 dans lequel il donne une construction pour diviser un triangle en quatre parties égales par deux droites perpendiculaires.

En 1689, il publie un important travail sur les séries infinies et sa loi des grands nombres dans la théorie des probabilités. Jacques Bernoulli a publié cinq traités sur les séries infinies entre 1682 et 1704. Les deux premiers de ces traités contiennent de nombreux résultats, tel que le résultat fondamental selon lequel la série ∑ 1 / n {\displaystyle \sum 1/n} \sum 1/n diverge. Bernoulli croyait que ce résultat était nouveau, mais il avait été effectivement prouvé par Pietro Mengoli 40 ans plus tôt. Bernoulli n'a pu trouver la valeur exacte de ∑ 1 / n 2 {\displaystyle \sum 1/n^{2}} \sum 1/n^{2}, mais il a montré qu'il y avait convergence vers une limite finie inférieure à 2. Euler a été le premier à trouver la somme de cette série en 1737. Bernoulli a également étudié les séries d'exponentielles dont il a eu besoin pour le calcul des intérêts composés.

En mai 1690 dans un article publié dans Acta Eruditorum, Jacques Bernoulli a montré que le problème de la détermination de la courbe isochrone est équivalent à la résolution d'une équation différentielle non linéaire du premier ordre. L'isochrone, ou courbe de descente constante, est la courbe le long de laquelle une particule va descendre par gravité depuis n'importe quel point jusqu'à l'extrémité exactement dans le même temps, quel que soit le point de départ. Ce problème avait été étudié par Huygens en 1687 et Leibniz en 1689. Après avoir trouvé l'équation différentielle, Bernoulli a alors résolu l'équation par ce que nous appelons maintenant la séparation des variables. L'article de Jacques Bernoulli de 1690 est important pour l'histoire du calcul, car le mot d'intégrale apparait pour la première fois avec son sens de l'intégration. En 1696, Bernoulli a résolu l'équation, maintenant appelé l'équation différentielle de Bernoulli :

y ′ = p ( x ) y + q ( x ) y n . {\displaystyle y'=p(x)y+q(x)y^{n}.} y'=p(x)y+q(x)y^{n}.

Jacques Bernoulli a également découvert une méthode générale pour déterminer la développée d'une courbe comme lieu des centres de courbure. Il a également étudié les caustiques et en particulier, il a étudié les courbes associées à la parabole, à la spirale logarithmique et aux épicycloïdes autour de 1692. La lemniscate de Bernoulli a été conçue par Jacques Bernoulli en 1694. En 1695, il a étudié le problème du pont-levis où l'on cherche la courbe requise de sorte que le poids coulissant le long du câble garde toujours le pont-levis équilibré.

L'œuvre la plus originale de Jacques Bernoulli a été Ars Conjectandi publié à Bâle en 1713, huit ans après sa mort. Le travail était inachevé au moment de sa mort, mais il est encore le travail le plus important pour la théorie des probabilités. Dans ce livre, Bernoulli passe en revue les travaux des autres auteurs sur les probabilités, en particulier les travaux de van Schooten, Leibniz, et Prestet (en). Les nombres de Bernoulli apparaissent dans ce livre lors d'une discussion sur la série exponentielle. De nombreux exemples sont donnés sur combien on pourrait s'attendre à gagner en jouant divers jeux de hasard. Le concept de processus de Bernoulli est issu de ce travail. Il y a des pensées intéressantes sur ce que les probabilités sont vraiment.

Bernoulli a été l'un des promoteurs les plus importants des méthodes formelles de l'analyse mathématique. L'astuce et l'élégance sont rarement présentes dans sa façon de présenter et de rédiger, mais on y trouve un maximum de rigueur.
Découverte de la constante mathématique e

Bernoulli a découvert la constante e par l'étude d'une question concernant les intérêts composés où il fallait trouver la valeur de l'expression suivante (qui est en fait e) :

lim n → ∞ ( 1 + 1 n ) n . {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}.} {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}.}

Soit comme exemple, un compte qui a pour valeur initiale 1 € et rapporte 100 pour cent d'intérêt par an. Au bout d'un an, le compte est de 2 € ; mais si l'intérêt est composé chaque six mois, 1 € est multiplié par 1,5, ce qui donne 1 € × 1,52 = 2,25 €. Si l'intérêt est composé chaque trimestre, 1 € × 1,254 = 2,4414… € et s'il est mensuel, 1 € × (1,08333333…)12 = 2,613035… €.

Bernoulli a remarqué que cette suite tend vers une limite (le taux d'intérêt effectif) lorsque les intervalles deviennent de plus en plus petits. Pour un intérêt composé chaque semaine, on trouve 2,692597 € ..., pour un intérêt composé chaque jour, on trouve 2,714567 € ... Si n est le nombre d'intervalles de composition, avec un intérêt de 100%/n pour chaque intervalle, la limite lorsque n devient grand, est le nombre d'Euler qui par la suite a été noté e. Pour des intérêts composés continûment, la valeur du compte atteindra 2,7182818 € ... Plus généralement, un compte dont la valeur initiale est 1 €, et un taux de R euros, aura au bout d'un an la valeur finale eR euros lorsqu'on découpe l'année en une infinité de périodes de composition infiniment courtes.
Œuvre
Ars conjectandi, 1713 (Milano, Fondazione Mansutti).

Son œuvre majeure est Ars Conjectandi publiée après sa mort à Bâle en 1713, avec une préface de son neveu Nicolas Bernoulli. Il y pose les principes du calcul des probabilités et introduit les nombres de Bernoulli.
Il a aussi laissé des Mémoires, réunis sous le titre de Jacobi Bernouilli Opera, Genève, 1744, 2 volumes in-4.

Source partielle

Cet article comprend des extraits du Dictionnaire Bouillet. Il est possible de supprimer cette indication, si le texte reflète le savoir actuel sur ce thème, si les sources sont citées, s'il satisfait aux exigences linguistiques actuelles et s'il ne contient pas de propos qui vont à l'encontre des règles de neutralité de Wikipédia.

Voir aussi

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Articles connexes

Loi de Bernoulli en probabilités
Processus de Bernoulli
Loi faible des grands nombres (Théorème de Bernoulli)
Mathématiques en Europe au XVIIe siècle

Bibliographie

Patricia Radelet-De Grave, « Le De curvatura fornicis de Jacob Bernoulli ou l'introduction des infiniment petits dans le calcul des voûtes », dans Entre mécanique et architecture / Between mechanics and architecture, Basel/Boston/Berlin, Birkhauser, 1995 (ISBN 3-7643-5128-4), p. 141-163, DOI:10.1007/978-3-0348-9072-4_9
Liens externes

Ouvrages de Bernoulli numérisés par le SCD de l'Université de Strasbourg
Éloge de Jacques Bernouilli par Fontenelle, site de l'Académie des sciences
Recension de la Notice sur la correspondance de Jean Ier Bernoulli par Gustaf Eneström (en), parue en 1879
(en) John J. O'Connor et Edmund F. Robertson, « Jacob Bernoulli », dans MacTutor History of Mathematics archive, université de St Andrews (lire en ligne).
(de) Moritz Cantor: Bernoulli, Jakob I, dans: Allgemeine Deutsche Biographie (ADB). Volume 2, Duncker & Humblot, Leipzig 1875, p. 470-473
Notices d'autoritéVoir et modifier les données sur Wikidata : Fichier d'autorité international virtuel • International Standard Name Identifier • Bibliothèque nationale de France (données) • Système universitaire de documentation • Bibliothèque du Congrès • Gemeinsame Normdatei • Bibliothèque nationale d'Espagne • WorldCat

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v · m
Nombre e
Applications Intérêts composés · Identité d'Euler · Formule d'Euler · Demi-vie · Croissance exponentielle · Décroissance exponentielle
Définitions Démonstration de l'irrationalité de e · Représentations de e · Théorème d'Hermite-Lindemann
Personnes John Napier · Jacques Bernoulli · Leonhard Euler

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Processus de Paix des secouristes de la république de l'Olivier.

Je crois qu'à l'avenir, plus personne ne pourra recréer des bulles d'exclusions...
Pour cela, je ne peux me permettre de mettre à l'écart tout individu(e) et "État".

Je ne suis qu'une femme ou un homme humble qui en vous adressant ces ces vers,
espère qu'il puisse vous conduire vers l'expérience, le travail et la communauté...
La solitude augmente ou diminue le nervosité... Cela s'appelle le malheur...

Alors par décision, on recherche à se tranquilliser et remettre la balance sur le zéro;
alors par construction, on décèle la notion d'une fragile tolérance:
Celle d'insulter !

Par Yahvé, cela est une horreur et une erreur...

La République de l'Olivier dit :
"Oui à la gréve, Non à l'Esclavage..."
la constitution rajoute :
"Oui à la Bibliothèque et Non à la Faim."
et le peuple doit rajouter :
"Oui à l'écoute et Non aux viols physiques et moraux."

Alors le Novice du Secourisme prends en charge sa nouvelle fonction autre qu'un service
militaire mais basé aussi sur la protection du Bien et du Corps.

"Je suis Y'becca"

Ecrit de
TAY
La chouette effraie.

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Y'becca ou murmure de l'Arbre-Olivier.
https://leclandesmouettes.1fr1.net/t41-y-becca-ou-murmure-de-l-arbre-olivier

Profils des Juges du Secourisme et
la république de l'Olivier.

Chére Minouska, Féline de Pierre et Yvette et toutes les bonnes volonté(e)s

Je regarde le temps différemment après la mort de Athéna la chatte Bleue.
De longues années à voyager; à travailler et à écrire... Tel un Spartiate, je me suis emprunt à une apogée sur la compréhension du monde qui m'entourai de ses richesses; J' y ai rencontré des lueurs, des affronts et des forces.

Je regarde celle qui a su réveiller la force de réveiller ces écrits que j'ai voulu sauvegarder par le fait que après
tout, aide toi et le ciel te répondra: Et je dois dire que ma volonté fut exaucer... Alors je regarde Minouska, une chatte qui a recueilli mon cœur en lambeau lors de la guerre ou intifada, si vous préférez:

Le Juge Suprême de la république de l'Olivier est un personnage
qui doit s'informer et accueillir la Parole de l'un et de l'Autre. Il se doit d'écrire des vers, des proverbes, des espoirs, des fables car notre peuple aime cela: Ni fouet, ni chaines ! être sérieux devant les nuages gris !
Car l'arbre peur garantir notre fraternité et la justice de l'eau propager la diversités des écritures des forets donc vers la connaissance et Yahvé... La République est le pilier de l’Âme dans le sens où il s’inclut dans le peuple et ne cherche pas à devenir idole, idolâtre ou idolâtré. Être humble doit être la qualité première du Juge Suprême de la République de l'olivier.

Dans la vallée du Nil à la plaine des cèdres; le juge suprême doit présenter ses hontes et ses espoirs... je vous fait part de mon expérience... Nuls réponses dans un premiers temps ne se fit entendre alors j'envoyai des mouettes, des chouettes et des canaris sous forme de lettre tel un oiseau qui apprends son premier envol.

Alors sous forme de mirage pour certains et pour d'autres, cela s'appelle un message. Je me fis ce constat et que la volonté en soit ainsi si il ne veulent pas entendre;

"Propage la Connaissance des serments car ce sont les hommes qui s'entretuent par leur entreprise, leur volonté et leur désir! Car certains vomissent sur la fraternité voilà un maillon de haine du trois en un délivré par le vieux coq... Rétablit l'apprentissage de l'Espérance sur l'apprentissage de marcher ! La canne de l'age n'est pas un spectre; elle est une source d'eau ! Tu apprendra à entendre ta douleur devant la faim ! Nous sommes des étapes et en cela cherche le fait d'exister ! La République est le pilier de l’Âme dans le sens où elle s’inclut dans le peuple et ne cherche pas à devenir idole, idolâtre ou idolâtré. Être humble doit être la qualité première !

Ecrit de
TAY
La chouette Effraie.

_________________
Kounak le chat....

Le référendum est une institution et en cela, il n'est jamais dit que le principe du Referendum est une forme d'émancipation envers les autorités publiques... Le Referendum est la manière la plus noble auquel une loi peut être établi: Pourtant, un jour, Louis Napoléon utilisa cette manière du suffrage universel direct qui marqua les esprits... Le Peuple ne peut pourtant nier le rôle évident que représente le referendum dans le principe civique et morale de "l'individue et de l'individu" dans le terme de Démocratie... Ce principe pourtant, peut être juste consultatif mais il permet ainsi à l'individu de se mettre en situation auquel se retrouve exposer les élu"e"s... Certains voient dans le referendum une forme de combat de coq ou de boxe, en tout cas, à l'image d'un vote électif, il est un aspect fondamentale d'une cohésion morale auquel la démocratie doit faire face: Il surpasse l'aspect de l'état et sans le remettre en cause, il est capable de pointer certaines choses de la vie quotidienne. Dans certains pays, il y a l'aspect de pétition qui peuvent être soumise au suffrage universel indirect... Le suffrage universel direct auquel appartient le Référendum est un aspect essentiel du caractère humain auquel un peuple veut s'adresse envers ses nouvelles générations... Le fait de débattre est un outil essentiel en terme de communication et pourtant dans certains cas, la question du Référendum relève de l'intérêt de l'état régalien, c'est en cela que certains hésitent sur son aspect même mais il montre l'aspect même de l'interlocuteur qui propose le sujet de la question. Le référendum est une loi d'utopie qui pourtant montre l'aspect réel de l'individu dans la société: En cela, j'accorde une importance réelle dans la constitution de Y'becca et des Républiques d'Israël et de la Palestine ainsi que dans toutes les Nations Morales et Physiques pour une reconnaissance morale et intellectuel dans le référendum: Son vote est lié malheureusement à des disputes entre des élu"e"s du Suffrage universel indirect... Toutefois, tout comme le vote direct du parlement et tout vote indirect du parlement, le référendum ne peut être organiser pour un Conflits d’intérêts et en cela, c'est au pouvoir judiciaire et à ses membres qu'il soit public et privé tout en maintenant et mettant l'aspect du service public militaire et civil dans la lutte contre les Conflits d’intérêts qui pourrait s'ingérer dans la teneur du débat et du vote: L'aspect du Général, de la société et l'individu doit être soulever en soulevant toutes les égalités et inégalités que peuvent engendrer le référendum... Certains peuvent s'amuser à créer de lois et des référendum pour des Conflits d’intérêts, pour créer des désordres et par gloire personnel... Cela n'est pas dans l'intérêt de l'harmonie sereine auquel nous devons être en ces situations profondes de changement de climat: "De jour en jour; le petit Nuage de Magellan et La Galaxie d'Andromède évolue depuis µ Êta Careme" s'écrie Nagaliew la mouette aux yeux verts..."
L'aspect du référendum est un droit de cité et de navire dans les prochains siècles à venir; et le juge suprême de la république de l'olivier s'y engage et dans des situations d'urgence, notre professionnalisme institué par la philosophie et la prudence du référendum nous permettra d'avoir l'anticipation sur le danger qu'il soit matérielle, morale et naturelle, ils peuvent être distinct ou englobé, Le référendum et ses principes il est un aspect fondamentale d'une cohésion morale auquel la démocratie, une armée ou un navire doit faire face... Le Laïc et l'Eternel devant la démocratie et la Nature. Conflits d’intérêts... Le clans des mouettes et la cinquième république devant l'adversité des peurs et des intérêts... Nous sommes prêt à faire face à l'avenir... La République de l'Olivier...

Ecrit de
TAY
La chouette effraie

Processus de Paix des secouristes de la république de l'Olivier.

Je crois qu'à l'avenir, plus personne ne pourra recréer des bulles d'exclusions...
Pour cela, je ne peux me permettre de mettre à l'écart tout individu(e) et "État".

Je ne suis qu'une femme ou un homme humble qui en vous adressant ces ces vers,
espère qu'il puisse vous conduire vers l'expérience, le travail et la communauté...
La solitude augmente ou diminue le nervosité... Cela s'appelle le malheur...

Alors par décision, on recherche à se tranquilliser et remettre la balance sur le zéro;
alors par construction, on décèle la notion d'une fragile tolérance:
Celle d'insulter !

Par Yahvé, cela est une horreur et une erreur...

La République de l'Olivier dit :
"Oui à la gréve, Non à l'Esclavage..."
la constitution rajoute :
"Oui à la Bibliothèque et Non à la Faim."
et le peuple doit rajouter :
"Oui à l'écoute et Non aux viols physiques et moraux."

Alors le Novice du Secourisme prends en charge sa nouvelle fonction autre qu'un service
militaire mais basé aussi sur la protection du Bien et du Corps.

" PEUPLES DE JÉRUSALEM CE QU'IL Y A, C'EST LE DIRE SUR LE DISCOURS.
LE DÉVELOPPEMENT EST UN POUMON DU DESTIN CAR LE TEMPS DOIT ÊTRE
POUR PERMETTRE LA SITUATION DE CONSCIENCE DANS L'HANDICAP.
L'HABITUDE ET L'HARMONIE DOIVENT ÊTRE ROMPUES QUAND LA HAINE
S'ENRICHIT DE LA GUERRE.

PEUPLES DE JÉRUSALEM, MACHU PICCHU ET PÉKIN SONT DES CITÉS CONSTRUITES
SUR LA FOI, LA CONVICTION, LA CONNAISSANCE ET LA SURVIE DE POLITIQUES
DANS L'HISTOIRE: UNE AMBASSADE N'EST PAS UN GOUVERNEMENT
ET LA CITOYENNETÉ N'EST PAS L'HUMANITÉ:
NON AUX ESCLAVAGES, CÉLESTE JÉRUSALEM.

Je suis Y'becca"

Ecrit de
TAY
La chouette effraie.

MR HAWKING STEPHEN, LA THÉORIE DU TOUT ET Y'BECCA.
https://leclandesmouettes.1fr1.net/t640-mr-hawking-stephen-la-theorie-du-tout-et-y-becca#7900
Phil Collins - I Wish It Would Rain Down.
https://www.youtube.com/watch?v=YcY3FH208l8
NASA Live.
https://www.nasa.gov/nasalive
Y'BECCA.
TAY

LIVE | Compte-rendu du #ConseildesMinistres du mercredi 13 décembre 2017 par @BGriveaux.

En réponse à @Elysee @justice_gouv @BGriveaux
AUGUST AMES, LA PAPESSE, LE DEUIL ET LA PRIÈRE. https://leclandesmouettes.1fr1.net/t642-august-ames-la-papesse-le-deuil-et-la-priere …
Tarot divinatoire. https://fr.wikipedia.org/wiki/Tarot_divinatoire …
Shield Theme. https://www.youtube.com/watch?v=jzWBjhaioKg …
Y'BECCA.
TAY

LE CYGNE NOIR, LA SÉNATRICE AMILDALA ET L’ESPÉRANCE.
https://leclandesmouettes.1fr1.net/t641-le-cygne-noir-la-senatrice-amildala-et-lesperance …
AUGUST AMES, LA PAPESSE, LE DEUIL ET LA PRIÈRE.
https://leclandesmouettes.1fr1.net/t642-august-ames-la-papesse-le-deuil-et-la-priere …
The Lamb Lies Down On Broadway - Genesis
https://www.youtube.com/watch?v=MRSgvfNZcWA …
Y'BECCA.
TAY

les guignols-Mitterand et nanard.
https://www.youtube.com/watch?v=ep9RaD94KYU …
LA COMBINE A NANARD.
https://www.youtube.com/watch?v=CSwckmggwNw …
“La chance ne s'explique pas.”
De Shirley Temple
"Mais, elle laisse des traces."
De La Vie.
TAY

MARIE PASTEUR, LA LÉGENDE, LA MAISON DIEU ET Y'BECCA.
https://leclandesmouettes.1fr1.net/t643-marie-pasteur-la-legende-la-maison-dieu-et-y-becca …
AUGUST AMES, LA PAPESSE, LE DEUIL ET LA PRIÈRE.
https://leclandesmouettes.1fr1.net/t642-august-ames-la-papesse-le-deuil-et-la-priere …
Genesis - The Waiting Room
https://www.youtube.com/watch?v=-uTREb7g_HM …
Y'BECCA.
TAY

Emmanuel Macron‏Compte certifié
@EmmanuelMacron

Plus forts ensemble. Fier du lancement de la coopération structurée permanente pour la défense européenne, pour une Europe qui protège. #EUCO

TIGNARD YANIS‏ @TIGNARDYANIS 1 minil y a 1 minute
En réponse à @EmmanuelMacron.

“Le fatalisme a des limites. Nous devons nous en remettre au sort uniquement lorsque nous avons épuisé tous les remèdes.”
De Gandhi / Lettres à l'Ashram.
“Une petite sincérité est une chose dangereuse et une grande sincérité est absolument fatale.”
De Irène Peter.
Y'BECCA.
TAY

Emmanuel Macron‏ Compte certifié @EmmanuelMacron 17 hil y a 17 heures
Toutes mes pensées pour les victimes de ce terrible accident d’un bus scolaire et pour leurs familles. La mobilisation de l’État est totale pour leur porter secours.

En réponse à @EmmanuelMacron
“Pour les hommes, il n'y a jamais eu d'institution aussi fatale que l'argent.”
De Sophocle / Antigone
“La vie est unique et considérable mais la mort d'une grande banalité, comme tout ce qui est fatal.”
De Paul Guimard / Le mauvais Temps.
PRIÈRES.
Y'BECCA.
TAY

ENQUÊTES.
BOULE AU VENTRE.
“L’expression du soi est sacrée et fatale. C’est une nécessité.”
De Marie-Laure Bernadac/ Louise Bourgeois.
“Une connaissance générale est presque fatalement une connaissance vague.”
De Gaston Bachelard/ La Formation de l'esprit scientifique, 1938.
TAY

Emmanuel Macron‏Compte certifié @EmmanuelMacron
L’Europe démontre depuis plusieurs mois l’efficacité de l’action coordonnée d’une équipe unie. Le travail continue. Arrivée à Bruxelles pour le Conseil européen. #EUCO

En réponse à @EmmanuelMacron
RÉALITÉS SUR L'EUROPE.
“Tout ce qui est fixe est fatal et tout ce qui est fatal est puissant.”
De François René de Chateaubriand / Mémoires d’outre-tombe.
“Ces deux mots fatals : le mien et le tien. ”
De Miguel de Cervantès.
Adele - Skyfall
https://www.youtube.com/watch?v=DeumyOzKqgI
Y'BECCA.
TAY

RAPPORT DE Y'BECCA
SOUS L'EGIDE
DU CITOYEN TIGNARD YANIS.

14 December 2017

ESA astronaut Paolo Nespoli landed back on Earth early this morning after 139 days in space. The ride home from the International Space Station required braking from 28 800 km/h to a standstill in barely three hours.

Paolo and crewmates Randy Bresnik of NASA and Sergei Ryazansky of Roscosmos touched down on the steppes of Kazakhstan at 08:37 GMT.

The Soyuz MS-05 spacecraft endured the stresses of descent and landing as planned: its heatshield reached 1600°C during reentry into the atmosphere as the astronauts experienced up to four times their own body weight.
Paolo's landing in 2011

At 10 km altitude parachutes deployed before retrorockets provided the final braking metres before touchdown.

“The so-called soft landing feels like a head-on collision between a truck and a small car – and you are in the small car,” recalls Paolo from his 2011 landing.

During his five-month mission, Paolo orbited Earth 2224 times, flew through 35 000 sunrises and sunsets, and travelled 94 million kilometres.

This was Paolo’s third mission and third visit to the Space Station, bringing his total time in space to 313 days, the second most for an ESA astronaut, after Thomas Reiter.

Paolo completed more than 60 experiments during his Vita mission, which stands for Vitality, Innovation, Technology and Ability.

His body was itself an arena for research: his eyes, headaches, sleeping patterns and eating habits were monitored to learn more about how humans adapt to life in space.

Temperature recordings, muscle exercises and plenty of blood and saliva samples will add to the picture and prepare humans for missions further from Earth.

Some 400 km above the planet, he instructed a humanoid robot in Germany to repair three damaged solar panels across a simulated Mars terrain, showing how astronauts and robots will work together on future planetary missions.

Life in space could get easier thanks to tablets and smartphones – Paolo tested a hands-free system that displays instructions during complex tasks.

There was a lot of traffic during Vita: Paolo welcomed four visiting vehicles and saw three leaving the Station. He took part in two dockings using the Station’s robotic arm and assisted in four spacewalks.

Paolo will now be busy with briefings and tests. Astronauts undergo a form of rapid ageing in space and need to readapt to living under gravity. Scientists will investigate how his body reacts as a case study.

The next ESA astronaut to travel to the Station will be Alexander Gerst, scheduled for launch next summer.

"Le moine répond comme l'abbé chante."
Proverbe français ; Le dictionnaire des proverbes et idiotismes français (1827)

"C'est la poule qui chante qui a fait l'œuf."
Proverbe franc-comtois ; Les proverbes et dictons de la Franche-Comté (1876)

"Qui bien chante et qui bien danse fait un métier qui peu avance."
Proverbe franc-comtois ; Les proverbes et dictons de la Franche-Comté (1876)

"Qui rit et chante, son mal espante."
Proverbe provençal ; Les proverbes et dictons en langue d'Oc (1820)

"Reste où l'on chante, les hommes méchants ne chantent pas."
Proverbe rom ; Le dictionnaire des proverbes et dictons tsiganes (1980)

"Au chien de garder la maison, au coq de chanter le matin."
Proverbe vietnamien ; Les proverbes et dictons du Viêt Nam (1956)

"Tous ceux qui chantent ne sont pas gais."
Proverbe russe ; Proverbes et dictons russes (1884)

"Chante à un follet, et il te fera un pet."
Proverbe français ; Les proverbes et dictons communs (1611)

"Autant chante le fou que le prêtre."
Proverbe espagnol ; Dictionnaire des sentences et proverbes espagnols (1892)

"Toute cigale qui chante après le coucher du soleil sera morte le lendemain."
Proverbe provençal ; Le dictionnaire des proverbes provençaux (1823)

"Un riche chargé de fortune quand il crie pense bien chanter."
Proverbe provençal ; Dictons d'oc et proverbes de Provence (1965)

"Même si le coq ne chante pas, l'aurore vient."
Proverbe afghan ; Les proverbes et dictons de l'Afghanistan (1926)

"Quand le laboureur chante la charrue va bien."
Proverbe provençal ; Le dictionnaire des proverbes provençaux (1823)

"Bien danse pour qui la fortune chante."
Proverbe français ; Dictionnaire des sentences et proverbes français (1892)

"L'eau fait pleurer, le vin fait chanter."
Proverbe français ; Trésor des sentences (1568)

"Poule qui chante beaucoup pond peu."
Proverbe allemand ; Dictionnaire des proverbes et idiotismes allemands (1827)

"Un chant doux a trompé plus d'un oiseau."
Proverbe allemand ; Dictionnaire des proverbes et dictons allemands (1980)

"Chacun pense que son coucou chante mieux que le rossignol des autres."
Proverbe allemand ; Dictionnaire des proverbes et idiotismes allemands (1827)

"Comme chante le chapelain, ainsi répond le sacristain."
Proverbe français ; Proverbes et dictons de l'Anjou (1858)

"Le sot est comme un coq qui chante à contretemps."
Proverbe turc ; Mille et un proverbes turcs (1878)

"Quand on entend la grive chanter, cherche la maison pour t'abriter, ou du bois pour te chauffer."
Proverbe agricole ; Proverbes et dictons agricoles de la Dordogne (1872)

"Quand les chouettes chantent le soir, signe de beau temps."
Proverbe agricole ; Proverbes et dictons agricoles de l'Ille-et-Vilaine (1872)

"Si le coucou chante au nord, pluie au lendemain ; s'il chante au midi, beau temps."
Proverbe agricole ; Proverbes et dictons agricoles des Hautes-Alpes (1872)

"Si tu sais chanter des berceuses, que ne t'endors-tu toi-même ?"
Proverbe tadjik ; Dictionnaire des proverbes et dictons tadjiks (1980)

"Là où chantent plusieurs coqs, le jour est en retard."
Proverbe grec ; Dictionnaire des proverbes et dictons grec (1980

"La conversation raccourcit la route, et le chant le travail."
Proverbe russe ; Proverbes et dictons russes (1884)

"La poule ne doit point chanter devant le coq."
Proverbe français ; Recueil d'apophtegmes et axiomes (1855)

"Là où il y a un coq, la poule ne chante pas."
Proverbe breton ; Recueil des proverbes bretons (1856)

"Au fond d'une coquille on écoute les mers, dans l'amour on entend les chants de l'univers."
Proverbe français ; Dictionnaire d'amour (1808)

"Chants de vieillards, chants de plainte qui se terminent par des larmes."
Proverbe malgache ; Le livre de la sagesse malgache (1967)

"Tel chante qui n'a joie."
Proverbe français ; Sentences et proverbes (1892)

"Le jeune coq chante comme il entend chanter son père."
Proverbe français ; Dictionnaire des proverbes et idiotismes français (1827)

"L'oiseau, où qu'il se trouve, chante toujours dans la langue de son pays."
Proverbe géorgien ; Les proverbes de la Géorgie (1903)

"Si tu as faim, chante ; et si tu as mal, ris."
Proverbe yiddish ; Proverbes en yiddish (1977)

"Que le coq chante ou non, le jour se lève."
Proverbe libanais ; Mille et un proverbes libanais (1968)

"Un bon chanteur est capable de chanter, alors même que la demeure croule."
Proverbe kurde ; Les proverbes du Kurdistan (1936)

"Sans le coq qui chante, l'aurore luirait quand même."
Proverbe kurde ; Les proverbes du Kurdistan (1936)

"Où le coq chante, il y a un village."
Proverbe béninois ; Expressions et proverbes du Bénin (2014)

"Si la poule veut chanter comme le coq, il faut lui couper la gorge."
Proverbe persan ; Proverbes et dictons persans (1876)

"Qui a bien chanté le soir a de la peine à chanter le matin."
Proverbe danois ; Dictionnaire des proverbes danois (1757)

"La nuit allonge le jour, et le chant allonge la cruche de bière."
Proverbe finlandais ; Le dictionnaire des proverbes et dictons finnois (1980)

"Qui vit d'espérance meurt en chantant."
Proverbe italien ; Proverbes et dictons milanais (1875)

"L'oiseau qui chante le plus ne construit pas un bon nid."
Proverbe zaïrois ; Proverbes et dictons zaïrois (1994)

"Les chants des colombes rendent les cœurs des amoureux joyeux."
Proverbe mauritanien ; Proverbes mauritaniens (1992)

"Le chant est comme la rosée qui tombe du ciel, il rafraîchit le sentier du voyageur."
Proverbe écossais ; Proverbes et dictons écossais (1876)

"Il y a peu de paix dans la maison où la poule chante et le coq se tait."
Proverbe français ; La fleur des proverbes français (1853)

"Mieux vaut entendre l'alouette chanter que la souris crier."
Proverbe écossais ; Scottish proverbs (1683)

RAPPORT DU
CITOYEN TIGNARD YANIS